SIMLearn

  • Печать

Кандидатский экзамен по специальности в аспирантуре

Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 05.13.18 «Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ».

Официальная страница аспирантуры МФТИ

Неофициальная страница аспирантов МФТИ

Общие вопросы.

Понятие модели. Вычислительный эксперимент. Модель, алгоритм, программа. Законы сохранения как основа большинства математических моделей. Классификация моделей. Построение иерархии упрощенных моделей как метод анализа сложных систем. Изменчивость, наследственность, отбор - общие черты развивающихся систем. Глобальные модели, мировая динамика. Примеры математических примеров экологии. Эволюция экосистемы. /1-5/

Математическая физика.

Линейные уравнения. Классификация уравнений второго порядка. Уравнение переноса, волновые уравнения. Принцип суперпозиции. Уравнение теплопроводности. Краевая задача, - принцип максимума, теоремы сравнения, метод разделения переменных. Задача Коши. Функция Грина. Волновые уравнения. Характеристики. Формула Даламбера. /6,7/ Корректность задач математической физики. Понятие о некорректных задачах и методах их анализа. /6-8/ Нелинейные уравнения. Уравнения газовой динамики. Автомодельные решения. Ударные волны. Понятие об обобщенных решениях. Самоорганизация. Понятие о параметрах порядка. Диссипативные структуры. Нелинейное уравнение теплопроводности. Нелинейные волны. Уравнение Бюргерса. Уравнение Кортевега-де-Фриза. Солитоны. Представление о методе обратной задачи рассеяния. /9-12/

Элементы функционального анализа.

Банаховы и гильбертовы пространства. Полнота, компактность. Лемма Арцела. Понятие об интеграле Лебега. Теорема о неподвижной точке. Непрерывные и вполне непрерывные операторы. Приложения к теории линейных интегральных операторов. Альтернатива Фредгольма. Примеры задач, приводящихся к интегральным уравнениям. /13,14/ Линейные функционалы. Распределения, обобщенные функции. Спектр оператора. Сопряженные, самосопряженные, симметричные, положительно определенные операторы и их спектральные свойства. /13,14/

Динамические системы.

Существование и единственность решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивость. Первый и второй методы Ляпунова. Диссипативные и гамильтоновы системы. Автоколебания. Понятие о методе усреднения. Генератор Ван-дер-Поля. /15-17/ Странные аттракторы. Система Лоренца. Одномерные отображения, как простейшие динамические системы. Простейшие дискретные модели. Клеточные автоматы. "Игра жизнь"./11,18/

Теория вероятностей.

Вероятность, условная вероятность, математическое ожидание. Схема Бернулли. Одномерные и многомерные распределения вероятностей. Центральная предельная теорема. Генерация случайных чисел. Метод Монте-Карло. Примеры математических моделей, которые могут быть изучены этим методом. /19,20/

Численные методы.

Численное интегрирование. Решение линейных алгебраических уравнений. Прямые и итерационные методы. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача о минимизации квадратичного функционала. Градиентные методы. Вариационные методы и проекционные методы. Понятие о методе конечных элементов. Разностные методы решения уравнений математической физики. Явные и неявные схемы. Основные понятия (аппроксимация, сходимость, устойчивость). Исследования устойчивости разностных схем для уравнения Пуассона, теплопроводности, переноса и волнового уравнения. Метод прогонки. Быстрое преобразование Фурье. Итерационные методы для решения разностных уравнений эллиптического типа. Численные методы решения нелинейных уравнений. Численные методы решения многомерных задач /21-25/. Понятие о пакетах прикладных программ, особенностях программного обеспечения больших задач /26/.

Методы исследования операций и задачи искусственного интеллекта.

Управляемая система. Модель операции. Примеры задач исследования операций. Экспертизы и неформальные процедуры. Проблемы автоматизации проектирования. Искусственный интеллект. Задачи распознавания образов. ЭВМ пятого поколения. Стратегическая компьютерная инициатива.

Литература.

  1. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М., Наука, 1988.
  2. Н.Н. Моисеев. Математические задачи системного анализа. М., Наука, 1981.
  3. Н.Н. Моисеев. Алгоритмы развития, М., Наука, 1981.
  4. Ю. Одум. Экология. М., Мир, 1986.
  5. Д. Форрестер. Мировая динамика. М., Наука, 1978.
  6. А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М., Наука, 1971.
  7. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. М., Наука.
  8. Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. М., Мир, 1977.
  9. А.А. Самарский, Ю.П. Попов. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., Наука, 1980.
  10. Компьютеры и нелинейные явления. М., Наука, 1988.
  11. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, системы квазилинейных уравнений. М., Наука, 1978.
  12. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1972.
  13. А.А. Люстерник, В.И. Смирнов. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, 1982.
  14. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1974.
  15. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения. М., Наука, 1980.
  16. Н.Н. Моисеев. Асимптотические методы нелинейной механики. М., Наука, 1969.
  17. Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение. М., Мир, 1988.
  18. А.А. Боровков. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1972.
  19. И.М. Соболь. Численный метод Монте-Карло. М., Наука, 1977.
  20. А.А. Самарский. Введение в численные методы. М., Наука, 1988.
  21. Н.Н. Калиткин. Численные методы. М., Наука, 1978.
  22. Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1977.
  23. А.А. Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1988.
  24. А.А. Самарский. Е.С. Николаев. Методы решений сеточных уравнений. М., Наука, 1978.
  25. Э. Йордан. Структурное программирование и проектирование программ. М., Мир, 1979.
  26. Э. Хант. Искусственный интеллект. М., Мир, 1978.
  27. Г.С. Поспелов. Искусственный интеллект - основа новых информационных технологий. М., Наука, 1989.