МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

ФАКУЛЬТЕТ ОБЩЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ
КАФЕДРА СИСТЕМНОЙ ИНТЕГРАЦИИ И МЕНЕДЖМЕНТА

ПРОГРАММА-МИНИМУМ

кандидатского экзамена по специальности 05.13.18 —
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим и техническим наукам

Программа обсуждена
на заседании кафедры
« 20 » апреля 2005 г.

Введение

В основе настоящей программы лежит материал курсов: функциональный анализ, математическая физика, теория вероятностей, математическая статистика, численные методы, информационные и компьютерные технологии, методы математического моделирования, методы извлечения, обработки и анализа данных, визуализация информации.

Основа программы разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации по управлению, вычислительной технике и информатике при участии МГУ им. М.В. Ломоносова. Программа дополнена вопросами основных курсов кафедры системной интеграции и менеджмента МФТИ.

1. Математические основы

Элементы теории функций и функционального анализа. Понятие меры и интеграла Лебега. Метрические и нормированные пространства. Пространства интегрируемых функций. Пространства Соболева. Линейные непрерывные функционалы. Теорема Хана-Банаха. Линейные операторы. Элементы спектральной теории. Дифференциальные и интегральные операторы.

Экстремальные задачи. Выпуклый анализ. Экстремальные задачи в евклидовых пространствах. Выпуклые задачи на минимум. Математическое программирование, линейное программирование, выпуклое программирование. Задачи на минимакс. Основы вариационного исчисления. Задачи оптимального управления. Принцип максимума. Принцип динамического программирования.

Теория вероятностей. Математическая статистика. Аксиоматика теории вероятностей. Вероятность, условная вероятность. Независимость. Случайные величины и векторы. Элементы корреляционной теории случайных векторов. Элементы теории случайных процессов. Точечное и интервальное оценивание параметров распределения. Элементы теории проверки статистических гипотез. Элементы многомерного статистического анализа. Основные понятия теории статистических решений. Основы теории информации. Статистические методы обработки данных. Статистический характер информации. Элементы теории массового обслуживания.

2. Информационные и компьютерные технологии

Принятие решений. Общая проблема решения. Функция потерь. Байесовский и минимаксный подходы. Метод последовательного принятия решения.

Исследование операций и задачи искусственного интеллекта. Экспертизы и неформальные процедуры. Автоматизация проектирования. Искусственный интеллект. Распознавание образов.

Численные методы. Интерполяция и аппроксимация функциональных зависимостей. Численное дифференцирование и интегрирование. Численные методы поиска экстремума. Вычислительные методы линейной алгебры. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений, разностные схемы. Сплайн-аппроксимация, интерполяция, метод конечных элементов. Преобразования Фурье, Лапласа, Хаара и др. Численные методы решения нелинейных уравнений, многомерных задач, вейвлет-анализа.

Алгоритмические языки. Представление о языках программирования высокого уровня. Пакеты прикладных программ.

Объектно-ориентированный подход к информации. Объектно-ориентированное программирование. Объектно-ориентированные языки программирования. Знакомство с программными пакетами для анализа информации, хранимой в базах данных типа OLAP (On-line Analytical Processing).

Научная визуализация. Проблемы и мотивация. Источники данных: эмпирические данные, данные моделирования. Области применения и примеры: молекулярное моделирование и разработка новых соединений; геонауки и изучение структур сейсмических данных; медицина и биологические науки; математика и понимание отношений высокой размерности; САПР — проектирование и анализ геометрических объектов; вычислительная гидродинамика и изучение потоков и полей.

3. Методы математического моделирования

Зачем нужно численное моделирование. Расчёты и численный эксперимент. Принципы проведения численного эксперимента. Модель, алгоритм, программа. Детерминированные и статистические методы. Дискретизация непрерывных параметров. Первая модельная задача — одномерная диффузия со степенной нелинейностью.

Основные принципы математического моделирования. Элементарные математические модели в механике, гидродинамике, электродинамике. Универсальность математических моделей. Методы построения математических моделей на основе фундаментальных законов природы. Вариационные принципы построения математических моделей

Методы исследования математических моделей. Устойчивость. Проверка адекватности математических моделей. Математические модели в научных исследованиях. Математические модели в статистической механике, экономике, биологии. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем.

Модели динамических систем. Особые точки. Бифуркации. Динамический хаос. Странные аттракторы. Система Лоренца. Одномерные отображения, как простейшие динамические системы. Эргодичность и перемешивание. Понятие о самоорганизации. Диссипативные структуры. Режимы с обострением.

Семейство решений. Решения задачи Коши в 0 и на бесконечности с помощью обычных программ численного интегрирования ОДУ. Пристрелка краевой задачи. Решение краевой задачи сеточным методом. Интерпретация особых точек. Непрерывный аналог метода Ньютона для решения системы нелинейных алгебраических уравнений.

Решение основной задачи — нелинейной теплопроводности в виде разностной схемы по r и t . Неявный метод. Зачем он нужен. Иллюстрация жёсткости системы на примере двух линейных уравнений. Общая схема неявного метода — внутренние итерации на каждом шаге по t .

Использование численных методов решения ОДУ для решения задач уравнений в частных производных. Решения жёстких систем явными методами. Контроль точности решения систем ОДУ и УРЧП, инварианты. Пример — уравнения Гамильтона, консервативные разностные схемы для них. Метод Монте-Карло. Общая схема. Понятие точности для метода Монте-Карло. Расчёт интегралов как типовой пример. Эффективность вычислений.

Однородные задачи, зачем они нужны. Понятие поколений. Нормализация числа частиц. Требования к алгоритму нормализации. Корреляция между поколениями. Как правильно оценивать ошибку. Что такое неаналоговый метод. Зачем он нужен. Смещение источника. Расщепление/рулетка. Весовые окна. Накапливаемый источник.

4. Методы извлечения, обработки и анализа данных

Введение в методику и технологии работы с данными больших объёмов. Требования, предъявляемые к данным и их роль в научной, производственной и деловой деятельности человека. Эволюция информационных технологий. Хранилища данных. Влияние информации на механизмы принятия решений. Разработка приложений для бизнеса. Примеры успешных приложений.

Различные подходы к хранению, извлечению, обработке и представлению данных. Постановка задачи и разработка бизнес-правил. Электронные таблицы. Базы данных. Основы теории проектирования баз данных. Обзор возможностей и особенностей различных СУБД. Создание базы данных. Средства работы с данными. Использование технологии клиент-сервер. Разработка пользовательского интерфейса. Использование готовых компонентов в приложении. Подготовка и отладка пользовательского приложения.

Способы отображения данных. Роль органов чувств в восприятии информации. Изображения, компьютерная графика и визуализация данных.

Понятия искусственного интеллекта. Базы программ и знаний.

Искусственные нейронные сети в задачах обработки данных. Интеллектуальный процесс обработки: манипулирование символами или распознавание образов. Компьютерные метафоры по отношению к метафорам мозга. Изменения взгляда на парадигму принятия решения. Принятие решения: элементы нейросетевой обработки данных. Понятие тренировки (обучения) искусственных нейронных сетей. Функциональная база нейронной сети.

Модели нейронных сетей и их архитектура. Базовые парадигмы алгоритмов обучения. Топологии нейронных сетей. Моделирование поведения нейронной сети. Ключевые критерии в выборе моделей и архитектуры. Тренировка и проверка работоспособности нейронной сети.

Анализ нейросетевых подходов для принятия решений. Анализ чувствительности метода. Сценарий решения, полученный нейронной сетью. Визуализация результатов. Понятия нечёткой логики (Fuzzy Logic).

Основная литература

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.
3. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1984.
4. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 1997.
6. Математическое моделирование / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Садовничего и др. М.: Изд-во МГУ, 1993.
7. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: ИЗОГРАФ, 1997.
8. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.
9. Соболь И.М. Численный метод Монте-Карло. М., Наука, 1977.
10. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М.: Физматлит, 2002.
11. Foley, van Dam, Feiner, Hughes. Computer Graphics: Principles and Practice. Second edition in C, Addison-Wesley PubComp, Reading,1996, 1175p.
12. Scientific Visualization: Advances and Challenges, Edited by L Rosenblum, R A Earnshaw, J Encarnacao, H Hagen, A Kaufman, S Klimenko, G Nielson, F Post, D Thalmann, Pub. IEEE CS and AP, 1994

Дополнительная литература

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
2. Пытьев Ю.П. Математические методы анализа эксперимента. М.: Высш. школа, 1989.
3. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000.
4. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ, 1984.
5. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972.
6. Идье В., Драйард Д. и др. Статистические методы в экспериментальной физике. Москва, Атомиздат, 1976.
7. Г.И.Ивченко, В.А.Каштанов, И.Н.Коваленко. Теория массового обслуживания. Москва, «Высшая школа», 1982.
8. Р.Ахаян, А.Горев, С.Макашарипов. Эффективная работа с СУБД. Изд. «Питер», Санкт-Петербург, 1997.
9. J.P.Bigus. Data Mining with Neural Networks. McGraw-Hill, 1996.
10. Simon Haykin. Neural Networks. Macmillan College Publishing Conpany. New-York. 1994.
11. Daniel Thalmann (ed.) Scientific Visualization and Graphics Simulation. John Wiley& Sons, Chichester, 1990, 264p.
12. Вопросы кибернетики, «Моделирование сложных систем и виртуальная реальность», под ред. Ю.М.Баяковского и А.Н.Томилина, РАН, Москва, 1995
13. Alexei Sourin. Computer Graphics. From a Small Formula to Virtual Worlds, Prentice Hall, 2004, ISBN 981-244-743-1, 275p.